|
Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: S= -\int\limits_{a}^{b}\alpha ds, где \alpha-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt, подставляя в интеграл движения, находим: S=- \int\limits_{t_1}^{t_2} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}dt. Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа: S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt. Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть:
\mathcal{L}=- \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}.
Далее, разложим последнее выражение по степеням \frac{v}{c}, получим:
\mathcal{L}\simeq \alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}, первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: \frac{m v^2}{2}, нетрудно определить константу \alpha:
\alpha = mc. Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы:
\mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}.
Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.
|