Спор-2. Возможность отыграться

[CowboyHugges]

(KROT), любопытно, что если на руку "пластилинового человечка" надеть браслет, то расцепить руки ему не удастся

[(KROT)]

Ничего удивительного - браслет изменяет топологию и узел становится нерасцепляемым
http://www.indiana.edu/~knotinfo/des..._notation.html

Но вот интересный вопрос: можно ли расцепить эти кольца?

[CowboyHugges]

Кстати удивительными (но лучше сказать любопытными) свойствами обладают т.н кольца Борромео.
p.s Может продублировать темку в "Науку"

[(KROT)]

Сообщение от CowboyHugges

кольца Борромео

Лента Мебиуса, вписанная в кольца Борромео

[(KROT)]

Треугольники Борромео

[Sigurd]

чё курите мля?

[(KROT)]

Байт, отыграться не удалось?
Можно продолжить топологические загадки

[Байт]

я не считаю, что проиграл. так как есть реальная возможность проверить 1-й спор опытным путём.

[(KROT)]

Итак, у меня одна банка краски
Передо мной - бесконечное количество плиток
Можно ли выкрасить бесконечное количество плиток одной банкой краски? (слой краски тонкий, но ненулевой толщины)

[Байт]

подозревая подвох скажу что можно) но не могу догадаться как

[(KROT)]

Поставим первую плитку.
Вторую плитку разделим на две части и подставим их под первую, выравнивая по вертикали
Третью плитку разделим на четыре равные части и подставим их под вторую
Продолжим процесс до бесконечности
Получим вот такую фигуру бесконечной площади

[(KROT)]

Теперь осталось покрасить
У кого какие идеи?

[CowboyHugges]

(KROT), "старо предание" Скручиваем Вашу фигурину в цилиндр, наливаем краску: объем конечен (сходящийся ряд из объемов) значит и кол-во краски конечно. Только причем тут топология

[(KROT)]

Возможность разместить поверхность бесконечной площади внутри конечного объема, при том, что поверхность является абсолютно гладкой (не имеет фрактальной структуры) - это топологический парадокс

Однако и фрактальная фигура, имеющая конечный объем, но бесконечную поверхность, не менее удивительна для непросвященных. Хотя, понятно, она не является гладкой

[CowboyHugges]

(KROT),спасибо, понял
Кстати в n-мерном евклидовом пространстве существует интересное свойство: при больших n,объем n-мерной фигуры сосредоточен вблизи поверхности . В 20-мерном пространстве арбуз радиусом 20 см с коркой в 1 см будет на треть состоять из корки . Но это так математика...
P.S. Надаб в "Клубах по интересам" создать клуб любителей математики имени Чарльза Доджсона

[(KROT)]

Сообщение от CowboyHugges

старо предание

Я не сомневался в двух вещах
1. CowboyHugges знает этот парадокс
2. CowboyHugges единственный на форуме, кто знаком с этим парадоксом

[Recycle]

Байт, кста, ты мне когда чуду-юду пришлёшь, которая заставляет заболеть манией преследования?)

[(KROT)]

Сообщение от CowboyHugges

(KROT),спасибо, понял

Я думаю, вы без труда сообразите, что у этой задачи есть четырехмерное обобщение

Бесконечный объем жидкости можно залить в четырехмерную бутылку конечного объема

[Байт]

CowboyHugges, (KROT), да уж, темка явно не для свалки

Сообщение от Recycle

кста, ты мне когда чуду-юду пришлёшь, которая заставляет заболеть манией преследования?)

О_о ???

[(KROT)]

Сообщение от Байт

CowboyHugges, (KROT), да уж, темка явно не для свалки

Для тех, кто в танке
Площадь поверхности вот такой телескопической бутылки бесконечна, а ее объем конечен (порядка двух пи)
Поэтому если мы зальем внутрь краску, то конечное количество краски выкрасит бесконечную поверхность слоем ненулевой толщины
Правда, толщина слоя (радиус цилиндров) будет уменьшаться в геометрической прогрессии

[hmur]

интересная тема,однако.(KROT), если можешь еще что-нить подобное выложи

[(KROT)]

Вы думаете, это рисунки цветов?

[Alex Klimov]

а как же эти, проблемы форума?

[CowboyHugges]

Сообщение от (KROT)

Вы думаете, это рисунки цветов?

Мы думаем, что Бенуа Мандельброт в душе был художником

[Muxa]

KROT дай ссылку где такие рисунки взял.

[Маша Штерн]

(KROT), первая задача (про окраску) - весьма и весьма широко известна.
Равно как и фамилия тов. Мандельброта.

[(KROT)]

Сообщение от Маша Штерн

(KROT), первая задача (про окраску) - весьма и весьма широко известна

Широко известна Маше, но неизвестна остальному форуму

Сообщение от Маша Штерн

Равно как и фамилия тов. Мандельброта

Все вспоминают эту фамилию, а Мандельброт ни при чем

На картинках изображены множества Жюлиа и бассейны Ньютона

Почему все сразу вспоминают Мандельброта? Классические примеры геометрических фракталов - триадная кривая и снежинка Коха, кривая Леви, колбаса Минковского, кривая Пеано, губка Менгера, множество Кантора, ковер и кладбище Серпинского - все они были открыты и исследованы в конце 19 - первой трети 20 века, в то время как книги Мандельброта были опубликованы только в 1975-77 годах

Не был Мандельброт художником - его множество было черно-белым. Вот таким

[xxx-men]

Сообщение от (KROT)

Классические примеры геометрических фракталов - триадная кривая и снежинка Коха, кривая Леви, колбаса Минковского, кривая Пеано, губка Менгера, множество Кантора, ковер и кладбище Серпинского

кинь формулу, попробую нарисовать

[Маша Штерн]

Сообщение от (KROT)

Не был Мандельброт художником - его множество было черно-белым

А я видела в цвете... Видать, раскрасил кто-то. Но ошибку признаю.

[Маша Штерн]

Сообщение от xxx-men

кинь формулу, попробую нарисовать

Алгоритм построения самоподобных и самоаффинных фракталов выглядит следующим образом.

Пусть {S1,..,SN} - некоторая система аффинных сжатий. Отображения Si представимы в виде: Si(x)=Ai( x-oi )+oi, где Ai - фиксированная матрица размера 2x2 и oi - двумерный вектор столбец.
1. Возьмем неподвижную точку первого отображения S1 в качестве начальной точки:
x := o1;
2. Отметим текущую точку x=(x1,x2) на экране.
3. Выберем случайным образом число k от 1 до N :
k:=Random(N)+1;
4. Пересчитаем координаты точки x:
x=Sk(x);
5. Переходим на шаг 2.

Триадная кривая Коха, дракон Хартера-Хейтуэя и лист папоротника Барнсли задаются преобразованиями вида:
X' = aX + bY + e;
Y' = cX + dY + f;
и отличаются только матрицами преобразования.


Множества Жюлиа строятся иначе. Они появляются из последовательностей комплекных чисел, определяемых по индукции с помощью соотношения:
Z(n+1) = Z(n)^2 + c,
где c - это комплексная постоянная.

Поведение этой последовательности чисел зависит от параметра c и начальной точки Z(0). Если зафиксировать c и изменять Z(0) в поле комплексных чисел, то получится множество Жюлия, а если зафиксировать Z(0) = 0 и изменять параметр c, то получится множество Мандельброта.

Вид множества Жюлиа зависит от выбора параметра с, причем зависимость эта очень сильна. И, меняя с, можно получить невероятное разнообразие множеств Жюлиа.

И вот тебе еще (извини, если будут повторения)
Всем, кто интересуется построением динамических фракталов, хорошо известны алгоритмы построения множеств Жюлиа и Мандельброта:
Julia
1. c = const
2. z0 = pixel
3. z' = f(z)
4. inc(n)
5. if |z| < мах and n < iter then goto 3

Mandel
1. z0 = c = pixel
2. z' = f(z)
3. inc(n)
4. if |z| < мах and n < iter then goto 2.

Полагая f(z) = z2 + c, мы получаем классические фракталы Жюлиа и Мандельброта. Приведу программы на Pascal'е и С для построения множества Мандельброта, которые примем в качестве базовых.
Program Mandel2;
Uses Graph, Crt;
Type
Complex = Record
x : Real;
y : Real;
End;
Const
iter = 30;
max = 100;
Var
z, t, c : Complex;
x, y, n : Integer;
gd, gm : Integer;
mx, my : Integer;
Begin
Randomize;
gd := Detect;
InitGraph(gd,gm,'c:\\bp\\bgi');
Mx := GetMaxX div 2;
My := GetMaxY div 2;
For y := -my to my do
For x := -mx to mx do Begin
n := 0;
c.x := x * 0.005;
c.y := y * 0.005;
z.x := 0;
z.y := 0;
While (sqr(z.x) + sqr(z.y) < max) and (n < iter) do Begin
t := z;
{z' = z^2 + c}
z.x := sqr(t.x) - sqr(t.y) + c.x;
z.y := 2*t.x*t.y + c.y;
Inc(n);
End;
If n < iter then PutPixel(mx + x,my + y, n mod 16);
If KeyPressed then Exit;
End;
Readkey;
CloseGraph;
End.

#include <conio.h>
#include <graphics.h>
#include <math.h>
#include <complex.h>
void main() {
int gd = DETECT, gm;
int mx, my;
complex c, z;
int it=35, max=100;
int k;
initgraph(&gd, &gm, "C:\\\\BORLANDC\\\\BGI");
mx = getmaxx() / 2;
my = getmaxy() / 2;
for (int x = -mx; x <= mx; x++) {
for (int y = -my; y <= my; y++) {
c = complex(x*0.006, y*0.006);
z = complex(0, 0);
k = 0;
while ((k < it)&&(abs(z) < max)) {
z = z*z+c;
k++;
}
if (k < it) putpixel(mx+x, my+y, k % 16);
}
}
getch();
closegraph();
return;
}

Существует много других формул позволяющих получить достаточно красивые отображения. О некоторых из них и пойдет речь в этом номере рассылки.
При этом тем, кто программирует на языках не поддерживающих работу с комплексными числами, полезно помнить следующее:

при сложении двух комплексных чисел действительная часть складывается с действительной, мнимая часть складывается с мнимой:
Пусть z1 = x1 + y1i и z2 = x2 + y2i, тогда z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
аналогично находится разность двух комплексных чисел:
z1 – z2 = (x1 – x2) + i(y1 – y2);
модуль комплексного числа:
|z| = (x2 + y2)1/2
(модуль комплексного числа обозначают также через abs(z), но иногда под abs(z) подразумевают следующее: abs(x + yi) = |x| + |y|i);
произведение находится следующим образом (не забываем, что i2 = –1):
z1z2 = (x1 + y1i)(x2 + y2i)= x1x2 + x1y2i + y1x2i + y1y2i2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + y1x2);
частное от деления двух комплексных чисел находится умножением на число, сопряженное знаменателю:
z1/z2 = z1z2/z2z2 = (x1 + y1i)(x2 – y2i)/[(x2 + y2i)(x2 – y2i)] = [(x1x2 + y1y2) + i(x2y1 – y2x1)]/(x22 + y22) =
= (x1x2 + y1y2)/(x22 + y22) + i(x2y1 – y2x1)/(x22 + y22);
экспонента находится по формуле Эйлера, которая находит обоснование в теории рядов:
ez = ex + yi = exeyi = ex(cosy + isiny) = excosy + iexsiny;
тригонометрические и гиперболические синус и косинус находятся следующим образом:
sinz = sin(x + yi) = sinx cosiy +cosx siniy = sinx chy + icosx shy
cosz = cosx chy – isinx shy
shz = shx cosy + ichx siny
chz = chx cosy + ishx siny
(shx = (ex – e–x)/2, chx = (ex + e–x)/2)
натуральный логарифм от комплексного числа находят, используя равенство z = |z|eiargz:
lnz = ln(|z|eiargz) = ln|z| + iargz = 0.5ln(x2 + y2) + iargz
argz=φ, cosφ = x/(x2 + y2)1/2, sinφ = y/(x2 + y2)1/2, tgφ = y/x (в некоторых языках программирования φ = arctan2(y, x), а вообще можно найти φ как arctg(x/y), учтя четверть),
также заметим, что zz = elnzz = ezlnz.
Теперь вернемся к нашему основному вопросу. В качестве формул можно использовать многочлены, рациональные, тригонометрические и гиперболические функции и, конечно же, их суммы, произведения и композиции. Ниже приведены формулы, которые можно сразу подставлять в приведенные выше программы, разложения на мнимую и действительную часть, ссылки на картинки, а также, если необходимо, комментарии.
z' = h(z) + c
z' = z3 + c (z = x + yi):
Re: x3 – 3xy2 + Rec
Im: 3x2y – y3 + Imc

z' = z4 + c
Re: x4 – 6x2y2 + y4 + Rec
Im: 4x3y – 4xy3 + Imc

z' = z5 + c
Re: x5 – 10x3y2 + 5xy4 + Rec
Im: 5x4y – 10x2y3 + y5 + Imc

z' = 1/z2 + c
Re: (x2 – y2)/[(x2 – y2) + 4x2y2]
Im: –2xy/[(x2 – y2) + 4x2y2]
Замечание: не забудьте исключить точку z = 0

z' = z2 + az + c
Re: x2 – y2 + xRea – yIma + Rec
Im: 2xy + xIma + yRea + Imc

z' = z2 + a/z3 +c
Re: x2 – y2 + a[x3 – 3xy2]/[(x3 – 3xy2)2 + (3x2y – y3)2] + Rec
Im: 2xy – a[3x2y – y3]/[(x3 – 3xy2)2 + (3x2y – y3)2] + Imc

z' = bcosz + c
Re: bcosx chy + Rec
Im: –bsinx shy + Imc

z' = bsinz + c
Re: bsinx chy + Rec
Im: bcosx shy + Imc

z' = bchz + c
Re: bchx cosy + Rec
Im: bshx siny + Imc

z' = h(z)g(z) + c
z' = zcosz + c
Re: xcosx chy + ysinx shy + Rec
Im: ycosx chy – xsinx shy + Imc

z' = zsinz + c
Re: xsinx chy – ycosx shy + Rec
Im: ysinx chy + xcosx shy + Imc

z' = sinz cosz + c
Re: sinx ch2y cosx + cosx sh2y sinx + Rec
Im: shy cos2x chy – chy sin2x shy + Imc

z' = eaπiz2(z - 4)/(1 - 4z) + c

z' = h(g(z)) + c
z' = sin(z4) + c
Re: sin(x4 – 6x2y2 + y4) ch(4x3y – 4xy3) + Rec
Im: cos(x4 – 6x2y2 + y4) sh(4x3y – 4xy3) + Imc

z' = cos(z4) + c
Re: cos(x4 – 6x2y2 + y4) ch(4x3y – 4xy3) + Rec
Im: –sin(x4 – 6x2y2 + y4) sh(4x3y – 4xy3) + Imc

z' = sh(1/z) + c
Re: sh(x/(x2 + y2)) cos(y/(x2 + y2)) + Rec
Im: –ch(x/(x2 + y2)) sin(y/(x2 + y2)) + Imc

z' = sh(z2) + c
Re: sh(x2 – y2) cos(2xy) + Rec
Im: ch(x2 – y2) sin(2xy) + Imc

z' = ch(z2) + c
Re: ch(x2 – y2) cos(2xy) + Rec
Im: sh(x2 – y2) sin(2xy) + Imc

z' = tg(z2) + c
Re: sin(x2 – y2)cos(x2 – y2)/(cos2(x2 – y2) + sh2(2xy)) + Rec
Im: sh(2xy)ch(2xy)/(cos2(x2 – y2) + sh2(2xy)) + Imc

z' = ctg(z2) + c
Re: –sin(x2 – y2)cos(x2 – y2)/(cos2(x2 – y2) – ch2(2xy)) + Rec
Im: sh(2xy)ch(2xy)/(cos2(x2 – y2) – ch2(2xy)) + Imc